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Sobre as funções Mittag-Leffler e o modelo fracionário de materiais viscoelásticos
Tese (doutorado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro TecnolĂłgico. Programa de PĂłs-Graduação em Mecânica.Materiais viscoelásticos sĂŁo hoje largamente aplicados em vários ramos da engenharia, com destaque para a mecânica e aeroespacial. Uma das razões para tal popularidade reside na facilidade com que os materiais viscoelásticos sĂŁo vulcanizados nas mais diferentes formas. Outra, Ă© o fato de que inĂşmeros materiais básicos podem ter suas propriedades dinâmicas adequadas, mediante introdução de aditivos, Ă s várias aplicações especĂficas. O Grupo PISA-LVA os vem estudando, bem como suas aplicações, há cerca de quinze anos, tendo já granjeado reputação internacional. Dentre as suas conquistas, cite-se, por importante no presente trabalho, o desenvolvimento de tĂ©cnica para a identificação dos parâmetros do modelo fracionário dos materiais viscoelásticos. Esta tĂ©cnica, já difundida internacionalmente, acabou por substituir, no âmbito do Grupo, com enormes vantagens, a da norma ASTM E 756 98. Esta tĂ©cnica Ă© toda estabelecida no domĂnio da freqĂĽĂŞncia. Surge naturalmente a questĂŁo: se esses parâmetros representam o material viscoelástico com excelente precisĂŁo, nĂŁo seria correto utilizá-los para o cĂ´mputo de propriedades importantes, definidas no domĂnio do tempo, como creep, compression set e outras? Este trabalho pretende ser um passo inicial para responder a essas questões, entre outras. RevĂŞ os modelos de Maxell, Kelvin-Voigt e Linear PadrĂŁo (ou Zener), primeiro na forma clássica, a derivadas inteiras. Repete-se este estudo, agora permitindo que as derivadas tenham ordem fracionária. As equações resultantes sĂŁo tratadas pela via da Transformada de Laplace. As soluções das equações resultantes envolvem as funções de Mittag-Leffler, notĂłrias pelas dificuldades computacionais que apresentam, em certas circunstâncias. Embora inĂşmeros estudos e algoritmos tenham vindo recentemente Ă luz, parece, entretanto, que um algoritmo absolutamente robusto, infenso a toda e qualquer circunstância, ainda está para ser escrito. Como a função de creep Ă© bem comportada para o computo numĂ©rico, procura-se calcular a função de relaxação de tensĂŁo por deconvolução. Uma outra saĂda, tambĂ©m aqui apresentada, Ă© a da inversĂŁo numĂ©rica da transformada de Laplace. Os resultados dessas tĂ©cnicas sĂŁo cotejados com aqueles obtidos pelo cĂ´mputo direto da função de Mittag-Leffler, em casos em que há convergĂŞncia